Kurvendiskussion

Symmetrie
Verhalten im Unendlichen
Schnittpunkt mit der y-Achse
Nullstellen
Ableitungen
Extrempunkte berechnen
Wendepunkt berechnen
Funktionsgraph

Gegeben sei die folgende Funktion, die wir auf Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achse, Nullstellen), Ableitungen, Extrempunkte und Wendepunkte untersuchen wollen.

Symmetrie

Wir müssen die folgenden Formeln überprüfen:

f(x) = f(– x) Achsensymmetrie zur y-Achse
f(– x) = – f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung

Wir überprüfen die erste Formel:

Die erste Formel führt zum Ergebnis, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch zu y-Achse ist, wir überprüfen daher noch die zweite:

Auch die zweite Formel führt zu keinem Ergebnis. Somit ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten im Unendlichen

Schnittpunkt mit der y-Achse

Zuerst überprüfen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, die befindet sich bei x = 0. Deshalb setzen wir in die Funktion x = 0 ein und erhalten den entsprechenden Wert.

Nullstellen

Als nächstes untersuchen wir die Funktion auf ihre Nullstellen. Wir müssen Polynomdivision anwenden. Zufällig sehen wir, dass bei x = 1 eine Nullstelle existiert. Also führen wir die Polynomdivision durch und teilen durch x – 1.

Wir erhalten unseren Faktoren für die faktorisierte Funktionsvorschrift.

x – 1 = 0

oder

Diese Gleichung lösen wir mit der PQ-Formel.

Da wir später die Funktion zeichnen wollen, rechnen wir die Werte mit dem Taschenrechner aus und erhalten zu der Nullstelle bei x = 1 noch die Nullstellen bei x = 6,196 und bei x = – 4,196.