Grenzwerte von Funktionen

Verhalten im Unendlichen

Grenzwerte von Funktionen – Verhalten im Unendlichen


Grenzwerte von Funktionen spiegeln das Verhalten im Unendlichen wieder oder, falls wir x gegen einen anderen Wert als unendlich laufen lassen, das entsprechende Verhalten.

Beispiel:

Wir wollen x gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen lassen. Dabei reicht es, die höchste Potenz der Potenzfunktion zu betrachten, weil keine andere Potenz jemals so groß werden kann, um das Ergebnis zu beeinflussen.

Wir schreiben für x gegen unendlich:

und für x gegen minus unendlich:

Ein weiteres Beispiel:

Uns interessiert, wie der Graph an der Polstelle verläuft. Die Polstellen einer Funktion gibt es bei gebrochen rationalen Funktionen (gebrochen ->es kommen Variablen im Nenner vor). Es sind die Stellen, die den Nenner zu Null machen würden, also die Nullstellen des Nenners. Diese Stellen müssen wir, falls wir den Definitionsbereich festlegen auch ausschließen.

Wir erkennen, dass wir x = – 2 ausschließen müssen, weil sonst der Nenner Null wird. Wir lassen x von oben, also x > – 2, gegen – 2 laufen und von unten, also x < – 2, gegen – 2 laufen.

Für den Grenzwert von f, für x gegen – 2, schreiben wir:

Wenn wir differenzieren wollen, von welcher Seite wir heran gehen, dann schreiben wir folgendermaßen:

Für x gegen – 2, für x < – 2 schreiben wir (wir können zwischen drei alternativen Schreibweisen wählen):

Für x gegen – 2, für x > – 2 schreiben wir (wir können zwischen drei alternativen Schreibweisen wählen):

Der folgende Graph veranschaulicht das Verhalten:

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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