Grenzwertsätze

Grenzwertsätze

Mit den Grenzwertsätzen wird die Möglichkeit gegeben, Grenzwerte von Folgen zu berechnen, nicht mehr wie zuvor, sie durch Ausprobieren zu ermitteln.

Eine Summenfolge s_n bildet man dadurch, dass man zwei Folgen z. B. a_n und b_n miteinander addiert: a_n + b_n = s_n

Ein Beispiel dazu:
a_n =             b_n =              s_n =

Das ist kein großes Ding. Es gibt auch noch Differenzfolgen, Produktfolgen und Quotientenfolgen. Diese sehen dann so aus: Differenzfolge: d_n = a_n – b_n; Produktfolge: p_n = a_n ∙ b_n und Quotientenfolgen: q_n =. Interessant sind die Eigenschaften von diesen Folgen. Die Grenzwerte von den Folgen verhalten sich nämlich genauso!

Beispiel:
a_n =             b_n =              s_n =

Beide Folgen sind Nullfolgen und konvergieren also gegen Null, folglich konvergiert auch die Summenfolge gegen Null.

Daraus folgen die Grenzwertsätze zum Merken:

1. Die Summenfolge s_n = a_n + b_n hat den Grenzwert a + b
2. Die Differenzfolge d_n = a_n – b_n hat den Grenzwert a – b
3. Die Produktfolge p_n = a_n ∙ b_n hat den Grenzwert a ∙ b
4. Die Quotientenfolge q_n = a_n : bn hat den Grenzwert a : b

Dazu ein vollständig durchgerechnetes Beispiel:

a_n =
             
n wurde ausgeklammert um eine konstante Folge und eine Nullfolge zu bekommen von beiden Folgen sind die Grenzwerte bekannt.

Die Erläuterungen zu den römischen Zahlen:
I           Quotientenfolge
II          Summen- und Differenzfolge
III         (konstante Folge), (siehe Nullfolgen)