Indirekter Beweis, dass Wurzel 2 irrational ist

Wenn die Wurzel aus 2 rational sein sollte, dann müsste man diese als Bruch schreiben können. Wir werden sehen, dass dies am Ende zu einem Widerspruch führen wird. Indirekte Beweise führt man so: Wir nehmen etwas an und widerlegen unsere These.

Wir schreiben also Wurzel 2 als Bruch:

p und q haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler
Wir gehen hier also erst einmal davon aus, dass Wurzel 2 möglich ist als Bruch zu schreiben. Wir denken uns den Bruch soweit gekürzt, dass Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben.

Wir quadrieren und erhalten 2 = Zähler und Nenner zum Quadrat.

Als nächstes schreiben wir 2 auch als Bruch:

Wir vergleichen die Nenner und erkennen, dass q = 1 sein muss, weil q² = 1 ist.

Jetzt vergleichen wir

mit

Die erste Gleichung ist unsere Voraussetzung, die zweite Gleichung erhalten wir aus der vorherigen Gleichung. Dieser Vergleich zeigt, dass eine ganze Zahl sein muss. Das ist aber offensichtlich falsch, denn 1² = 1 und 2² = 4 und , also gibt es keine ganze Zahl hierfür.

Damit haben wir unsere These, dass Wurzel 2 rational ist, widerlegt. Wir nennen diese Zahlen, die beim Wurzelziehen keine ganzen Zahlen ergeben, irrational. Also ist

Wir führen eine neue Zahlenmenge ein: Die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen vereinen die irrationalen Zahlen mit den rationalen Zahlen. Irrationale Zahlen sind also alle reellen Zahlen, die nicht rational sind und sind folgendermaßen angeordnet: