Kongruenzsätze und Dreieckskonstruktion

Kongruenz und Kongruenzsätze SSS, WSW, SWS und SSWg

Kongruenzsätze und Dreieckskonstruktion


Kongruenzsatz SSS und dessen Dreieckskonstruktion
Kongruenzsatz WSW und dessen Dreieckskonstruktion
Kongruenzsatz SWS und dessen Dreieckskonstruktion
Kongruenzsatz SSWg und dessen Dreieckskonstruktion

Kongruenz

Zwei Flächen sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie durch Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung oder auch aus den verschiedenen Verknüpfungen dieser Abbildungen, also zum Beispiel erst Drehung dann Spiegelung, ineinander überführt werden können. Das Kongruenzzeichen ist ein Gleichheitszeichen mit einem ~ darüber, also:

Speziell für Dreiecke ist wohl auch zulässig, ein Gleichheitszeichen mit einem gleichseitigen Dreieck darüber.

Kongruenzsatz SSS

Wenn mehrere Dreiecke die gleichen Seitenlängen haben, also alle drei Seiten von dem einen gleich ist mit allen drei Seiten eines anderen, dann sind sie kongruent. Sie haben damit automatisch alle den gleichen Flächeninhalt und die gleichen Winkel.

Dreieckskonstruktion bei gegebenen Seitenlängen a, b und c

Wir wollen ein Dreieck konstruieren, bei dem wir die Seitenlängen a, b und c vorgeben. Dafür benötigen wir ein Geodreieck (oder Lineal), ein Zirkel, Papier und Stift oder ein entsprechendes Computerprogramm.

Wir geben die Längen vor mit: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm

Wir beginnen mit der Grundseite c, das ist die Strecke zwischen den Dreieckspunkten A und B und zeichnen mit dem Geodreieck oder Lineal eine Strecke von 5 cm.

Als nächstes stellen wir unseren Zirkel auf 4 cm ein, weil wir die Strecke b zeichnen wollen und zeichnen diesen Kreis mit dem Radius 4 cm um den Punkt A, da die Strecke b bei A beginnt (gegenüber von Punkt B).

Im nächsten Schritt wollen wir die Strecke a = 3 cm zeichnen. Dafür stellen wir den Zirkel auf einen Radius von 3 cm ein und zeichnen einen entsprechenden Kreis um den Punkt B, da die Strecke a bei B beginnt (gegenüber von Punkt A).

Wir haben jetzt zwei Kreise. Vom Punkt A ist jeder Kreispunkt des Kreises mit dem Radius 4 cm gleich 4 cm entfernt, sodass der Punkt C schon einmal auf dem linken Kreis liegen muss. Der Punkt C muss aber auch 3 cm vom Punkt B entfernt sein und deshalb auch gleichzeitig noch auf dem rechten Kreis liegen. Ein Punkt, der das beides gleichzeitig erfüllt ist der Schnittpunkt der beiden Kreise. Also mit anderen Worten, der Schnittpunkt der beiden Kreise ist vom Punkt A 4 cm entfernt und vom Punkt B 3 cm. Es gibt zwei Möglichkeiten, sodass wir diese Punkte erst einmal einzeichnen.

Da man die Punkte bei Dreiecken gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, ist der obere Punkt C der des eigentlichen Dreiecks, aber auch das Dreieck, das entsteht, wenn man die Punkte A und B mit C‘ verbindet, hat den gleichen Flächeninhalt, die gleichen Winkel und die gleichen Seitenlängen und ist somit kongruent zum eigentlichen Dreieck. Es ist nämlich das gespiegelte Dreieck zur Spiegelachse c.

Dadurch wird klar, mit drei gegebenen Seitenlängen ist ein Dreieck immer kongruent zu jedem Dreieck, dass die gleichen Seitenlängen hat.

Kongruenzsatz WSW

Wenn mehrere Dreiecke die gleiche Länge einer Seite und die gleiche Größe der zwei anliegenden Winkel haben, dann sind diese Dreiecke zueinander kongruent.

Dreieckskonstruktion bei gegebener Seitenlänge c und gegebenen Winkeln α und β

Wir wollen ein Dreieck konstruieren, bei dem eine Seitenlänge vorgegeben ist und die beiden anliegenden Winkel. Die hierfür benötigten Hilfsmittel sind Geodreieck, Papier und Stift.

Wir geben vor, dass die Seitenlänge c = 5 cm betragen soll und die Winkel α = 37° und β = 53°.

Wir zeichnen zuerst die Grundseite mit c = 5 cm

Danach zeichnen wir am Punk A den Winkel α mit 37° ein mit einer Strecke, die „lang genug“ ist.

Im nächsten Schritt zeichnen wir am Punkt B den Winkel β mit 53° mit einer Strecke, die die Strecke vom Winkel α schneidet. Jetzt ist auch klar, was mit „lang genug“ gemeint war, die Strecken müssen sich nämlich kreuzen, im Schnittpunkt liegt übrigens der Punkt C.

Wie schon erwähnt liegt im Schnittpunkt der Punkt C, sodass wir unser Dreieck sauber verbinden können. Übrigens: Hätten wir die Winkel nach unten eingezeichnet, hätten wir das gespiegelte Dreieck an der Symmetrieachse c erhalten, das auch kongruent zu diesem Dreieck ist.

Kongruenzsatz SWS

Wenn bei mehreren Dreiecken zwei Seitenlängen und der Winkel zwischen ihnen gegeben sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

Dreieckskonstruktion bei zwei gegebenen Seitenlängen und ihrem Winkel

Wir wollen ein Dreieck konstruieren, bei dem zwei Seitenlängen vorgegeben sind und ihr Winkel zwischen diesen. Wir benötigen hierfür wieder unsere Hilfsmittel Geodreieck, Papier und Stift.

Wir geben vor, dass die Seitenlänge c = 5 cm betragen soll, die Seitenlänge b = 4 cm und der Winkel α = 37°.

Wir zeichnen zuerst die Grundseite mit c = 5 cm

Danach zeichnen wir am Punk A den Winkel α mit 37° ein mit einer Strecke von b = 4 cm.

Im letzten Schritt verbinden wir den Endpunkt der der Strecke b mit dem Endpunkt der Strecke c, also Punkt C mit Punkt B.

Kongruenzsatz SSWg (oder auch einfach SSW)

Wenn mehrere Dreiecke in den Längen zweier Seiten und im Betrag des Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, dann sind sie kongruent.

Dreieckskonstruktion bei zwei gegebenen Seitenlängen und dem gegenüberliegenden Winkel

Wir wollen ein Dreieck konstruieren, bei dem zwei Seitenlängen und der Winkel, der der längeren Seite gegenübersteht, vorgegeben sind. Dieses Mal benötigen wir Geodreieck, Zirkel, Papier und Stift als Hilfsmittel.

Wir geben vor, dass die Seitenlänge c = 5 cm betragen soll, die Seitenlänge von a = 3 cm und der Winkel (der c gegenüberliegt, weil c länger ist als a) γ = 90°.

Wir beginnen, dieses Mal allerdings nicht mit der Grundseite c, sondern mit der Seite a und zeichnen von dieser aus rechtwinklig die Seite b, dessen Länge wir noch nicht kennen können.

Als nächstes stellen wir unseren Zirkel auf die Seitenlänge von c, also 5 cm ein und zeichnen einen entsprechenden Kreis um den Punkt B.

Der Kreis schneidet die Gerade b zweimal. Den linken Schnittpunkt nennen wir A und den rechten A‘, damit die Punkte im Dreieck ABC gegen den Uhrzeigersinn beschriftet sind. Das Dreieck A’CB ist das gespiegelte Dreieck an a. Wir verbinden also den linken Schnittpunkt mit B und erhalten unser Dreieck:

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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