Funktionsvorschrift erstellen bei zwei gegebenen Punkten

Funktionsvorschrift erstellen bei zwei gegebenen Punkten

Als Voraussetzung haben wir zwei beliebige Punkte. Wir nehmen uns aber zwei konkrete und rechnen beispielhaft. Wir wollen eine lineare Funktion durch die Punkte P(1|2) und Q(4|1). Wir wissen nicht viel, außer, dass diese zwei Punkte auf unserer Geraden liegen und die Funktionsvorschrift von der Form y = mx + b ist.

Und deshalb setzen wir diese Punkte jetzt in die Funktionsvorschrift ein:

P(1|2), also x = 1 und y = 2:               2 = m · 1 + b
Q(4|1), also x = 4 und y = 1:               1 = m · 4 + b

Wir haben jetzt zwei Gleichungen und beide haben dieselben zwei Unbekannten. Wir hätten aber lieber nur eine Unbekannte, da wir sie dann einfach ausrechnen könnten. Wir formen eine der Gleichungen nach b oder m um, sodass wir sie in die zweite Gleichung einsetzen können. Wir entscheiden uns dafür, die erste Gleichung nach b umzustellen und das dann in die zweite Gleichung für b einzusetzen.

Unsere Steigung haben wir jetzt berechnet, sie beträgt  und wir können unsere Funktionsvorschrift soweit schreiben:

Fehlt also nur noch das b. Wir hatten zwei Gleichungen zur Verfügung, in die setzen wir unser m jetzt ein und erhalten das fehlende b. Es ist völlig beliebig, in welche wir das einsetzen, es kommt bei beiden dasselbe heraus:

Wir lösen mal beide nach b auf, zuerst die obere:

Jetzt die untere Gleichung:

Jetzt haben wir m und b ausgerechnet und können die Funktionsvorschrift vollständig aufstellen: