Lineare Unabhängigkeit oder Abhängigkeit von Vektoren

Linearkombination

Lineare Unabhängigkeit oder Abhängigkeit von Vektoren - Linearkombination


Linearkombination

Eine Linearkombination ist ein Vektor der aus einer Summe mehrerer anderer Vektoren gebildet werden.

Zum Beispiel ist Vektor c gleich Vektor a + b:

Eine Linearkombination ist auch:

Allgemein:

Eine Linearkombination muss nicht zwingend aus zwei Vektoren bestehen, sie kann auch aus mehreren bestehen. Die Vektoren können dabei Element aus dem (zweidimensionalem Raum) oder aus dem (dreidimensionalen Raum) oder aus jedem beliebigen Raum bestehen.

Lineare Unabhängigkeit oder Abhängigkeit

Zwei Vektoren und sind linear unabhängig, wenn nur mit erfüllt ist.

Anschaulich bedeutet das, dass man einen Vektor aus einem anderen bzw. aus mehreren anderen erstellen kann, also aus denen, die man auf lineare Unabhängigkeit untersucht.

Vorstellbar mit zwei Kugelschreibern, die auf dem Tisch liegen und in unterschiedliche Richtungen zeigen. Man braucht einen dritten, um zwei zusammenzulegen, sodass sie an dem Punkt enden, wo der noch nicht verwendete endet. Das wäre dann aber lineare Abhängigkeit.

Zurück zur linearen Unabhängigkeit: Man hat also zwei Vektoren und will die überprüfen. Das Ganze wird an einem Beispiel gezeigt:


Die zwei gegebenen Vektoren setzt man nun in die Formel ein.

Daraus bildet man das Gleichungssystem:

Man erkennt sofort, dass bei der Lösung erst für den einen Wert und damit auch für den anderen Wert Null rauskommt. Damit ist klar, dass die Bedingung von oben erfüllt ist. Man nennt diese „Null-Lösung“ triviale Lösung. Die Vektoren sind linear unabhängig.

Lineare Abhängigkeit ist das Gegenteil von der linearen Unabhängigkeit. Hierbei darf also nicht nur die „triviale Lösung“ existieren, sondern auch noch eine andere, also oder
Wobei „oder“ bedeutet, dass ein Wert durchaus 0 annehmen darf, aber dann zwingend der andere ein von Null verschiedenen Wert annehmen muss.

Als Beispiel sollen nun drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft werden. Als Beispielvektoren werden die Vektoren
,
und
dienen.
Wem es nicht sofort aufgefallen ist: Der Vektor c ist schon die Linearkombination (also die Summe) von den Vektoren a und b.

Wären die Vektoren linear unabhängig, so könnte man auf keinen Fall einen Vektor als Linearkombination aus zwei anderen bilden. Somit ist im Vorfeld klar, dass bei der Lösung des Gleichungssystems eine Lösung herauskommt, die die oberen Bedingungen (dass Lambda und Mü von Null verschieden sind, zumindest einer von beiden) erfüllt.

Folgendes Gleichungssystem muss man aufstellen:

Setzt man für ν oben -µ ein, so erhält man λ - µ = 0. Die Überprüfung eine Gleichung tiefer bestätigt das noch. Also sind die Vektoren linear abhängig.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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