Scheitelpunktform – Scheitelpunkt quadratischer Funktionen

Scheitelpunktform – Verschieben der Normalparabel in x-Richtung

Manchmal ist es nötig, quadratische Funktionen der Form x² + px + q in eine andere Form umzurechnen, bei der man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann. Das findet Anwendung bei Extremwertaufgaben, bei dem man den niedrigsten (oder auch höchsten) Punkt der Funktion berechnen will oder bei der Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung.

Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung

Wir gehen zunächst von der Normalparabel f(x) = x² aus und wollen diese um 2 nach rechts verschieben. Dafür subtrahieren wir noch vor dem Quadrieren 2 von x, also f(x) = (x – 2)². Mit der binomischen Formel können wir diese Form, die wir schon als Scheitelpunktform bezeichnen, in die übliche Form umrechnen: f(x) = (x – 2)² = x² – 4x + 4. Der Scheitelpunkt liegt bei S(2|0).

Wollen wir jetzt also eine quadratische Funktion der Form f(x) = x² + px + q um eine Zahl nach rechts oder links verschieben, muss man die Form mithilfe der quadratischen Ergänzung in Scheitelpunktform umrechnen. Wir wollen diese Umrechnung allgemein vornehmen:

Wir erhalten hier unsere Scheitelpunktform mit (x – d)² + e, wobei d für die Verschiebung in x-Richtung zuständig ist und e für die Verschiebung in y-Richtung. Setzen wir für d einen positiven Wert ein, dann ziehen wir von x vorm Quadrieren den Verschiebefaktor ab und verschieben die ganze Parabel nach rechts. Für ein negatives d (Beispiel (x – (– 2))² = x + 2) verschiebt sich die Parabel nach links.

Durch das Herleiten der Scheitelpunktform können wir aber auch anhand unserer üblichen Darstellung quadratischer Funktionen die Verschiebungen in x- und y-Richtung bestimmen. Unsere Verschiebung in x-Richtung bezeichnen wir mit d. Das hatten wir mit bestimmt. Verschiebung in y-Richtung war e mit

Wenn wir unsere quadratische Funktion in der Form f(x) = x² + px + q, zum Beispiel (Beispiel von oben) x² – 4x + 4, dann ist p = – 4 und q = 4. Wir bestimmen d und e:

 (Verschiebung um zwei nach rechts)

Bis hier können wir unsere Scheitelpunktform mit: f(x) = (x – 2)² + e aufstellen. Wir bestimmen noch e:

 (Verschiebung um Null nach oben/unten)
Jetzt können wir unsere ganze Funktion in Scheitelpunktform angeben: f(x) = (x – 2)² + 0.

Umrechnen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform

Gegeben sei eine Funktion mit der Funktionsvorschrift: f(x) = x² + 6x – 5

An dieser Stelle könnten wir mit der Formel f(x) = (x – d)² + e die Scheitelpunktform direkt aufstellen. Das machen wir allerdings später und gehen den Weg mit der quadratischen Ergänzung.

Unsere Schritte sind:

1. Quadratische Ergänzung mit 0 = + … – …
2. Binomische Formel erkennen und zurück umwandeln
3. Zahlen außerhalb der Klammer addieren

Wir legen los:

Jetzt wollen wir den Weg mit der Formel gehen: f(x) = (x – d)² + e mit und . Unsere Funktionsvorschrift lautet: f(x) = x² + 6x – 5, also sind p = 6 und q = – 5. Wir setzen ein:

Ergibt unsere Funktion in Scheitelpunktform: f(x) = (x + 3)² – 14.

Der Scheitelpunt liegt allgemein bei: S(d|e), hier bei S(– 3|– 14). Quadratische Funktionen sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt der Funktion. Durch Bestimmen des Scheitelpunktes können wir die Symmetrieachse bestimmen. In unserem Beispiel ist die Symmetrieachse x = – 3.