Summenterme zusammenfassen

Zusammenfassen gleichartiger Glieder in Summen

Summenterme zusammenfassen


Wir haben das Produkt als eine Kurzschreibweise für die Addition kennengelernt. Statt 2 + 2 + 2 haben wir 3 · 2 geschrieben. Das können wir auch mit Variablen machen. Statt x + x schreiben wir kurz: 2x. Man bedenke, dass x = 1 · x ist. Den Faktor 1 lassen wir meistens weg, wir müssen aber beim Rechnen daran denken. Wir fassen übrigens sowohl Additionen als auch Subtraktionen zusammen.

Beispiel:
2x + 3x – x + 4x – 5x
= (2 + 3 – 1 + 4 – 5) x
= 3x

So einfach, dass wir nur eine große Addition (und Subtraktion) aus Zahlen mit der gleichen Variable haben, ist es für gewöhnlich nicht. Dann gilt, dass man nur gleichartige Glieder zusammenfassen darf. Wir erinnern uns gern daran, dass man nicht Äpfel mit Birnen vergleichen soll. Zwei Äpfel plus zwei Äpfel sind natürlich vier Äpfel, aber vier Äpfel plus eine Birne sind nicht fünf Äpfel. Und deshalb folgendes Beispiel:

2x + 2x + y
= 4x + y
(wobei x die Äpfel sind und y die Birne)

Darauf müssen wir auch aufpassen, wenn wir Variablen und Produkte aus verschiedenen Variablen haben, die sind auch nicht gleichartig. Beispiel:

2x + 2xy + y + 2

Wir können hier absolut nichts zusammenfassen.

Aber: Wir dürfen unsere Rechenbesetze anwenden, zum Beispiel das Kommutativgesetz. Wenn wir also als Beispiel haben 2xy + 2yx, so dürfen wir innerhalb des Summanden die y und x vertauschen, weil es ein Produkt ist und schreiben: 2xy +2yx = 2xy + 2xy = 4xy.

Gleichartige Glieder stehen natürlich auch nicht immer direkt hintereinander. Auch hier dürfen wir mit unseren Rechengesetzen arbeiten und Glieder entsprechend vertauschen.

Beispiel:
3x + 4xy + 2y + 2x + xy + 3y
Wir sortieren um, und zwar am besten alphabetisch:
3x + 2x + 4xy + xy + 2y + 3y
= 5x + 5xy + 5y

Weiteres Beispiel:

xy + 2x – 3y + y + x – 2x – 2xy + 3x + 3xy
Wieder zuerst alphabetisch sortieren, darauf achten, dass das Minus vor der richtigen Zahl bleibt:
2x + x – 2x + 3x + xy – 2xy + 3xy – 3y + y
Wer mit negativen Zahlen auf Kriegsfuß steht, kann noch versuchen die Faktoren nach der Größe zu ordnen, die großen positiven Faktoren nach vorn, die negativen Zahlen nach hinten:
3x + 2x + x – 2x + 3xy + xy – 2xy + y – 3y
= 6x – 2x + 4xy – 2xy + y – 3y
= 4x + 2xy – 2y

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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